قوانين الرياضيات
49 قانوناً من منهاج الثالث الثانوي المهني في صفحة واحدة: الاشتقاق والتكامل ودراسة التابع والهندسة التحليلية والمثلثات والاحتمالات والأعداد العقدية.
الاشتقاق
| القاعدة | الصيغة | ملاحظة |
|---|---|---|
| مشتق الثابت | (c)′ = 0 | |
| مشتق القوة | (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ | مثال: (x³)′ = 3x² |
| ثابت × تابع | (k·u)′ = k·u′ | |
| المجموع | (u + v)′ = u′ + v′ | |
| الجداء | (u·v)′ = u′·v + u·v′ | |
| القسمة | (u / v)′ = (u′·v − u·v′) / v² | v ≠ 0 |
| الجذر | (√x)′ = 1 / (2√x) | x > 0 |
| قوة تابع | (uⁿ)′ = n·u′·uⁿ⁻¹ | |
| الجيب والتجيب | (sin x)′ = cos x ، (cos x)′ = −sin x | |
| الظل | (tan x)′ = 1 + tan²x = 1 / cos²x | |
| الأسي واللوغاريتم | (eˣ)′ = eˣ ، (ln x)′ = 1 / x | x > 0 |
| تركيب | (e^u)′ = u′·e^u ، (ln u)′ = u′ / u | u > 0 |
التوابع الأصلية والتكامل
| القاعدة | الصيغة | ملاحظة |
|---|---|---|
| تكامل القوة | ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + c | n ≠ −1 |
| تكامل 1/x | ∫ (1/x) dx = ln|x| + c | |
| تكامل الأسي | ∫ eˣ dx = eˣ + c | |
| الجيب والتجيب | ∫ cos x dx = sin x + c ، ∫ sin x dx = −cos x + c | |
| التكامل المحدد | ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) | F تابع أصلي لـ f |
| المساحة | S = ∫ₐᵇ |f(x)| dx | بين الخط البياني ومحور الفواصل |
دراسة تابع ورسمه
| القاعدة | الصيغة | ملاحظة |
|---|---|---|
| 1. مجموعة التعريف | D | حيث يكون للتابع معنى (المقام ≠ 0، ما تحت الجذر ≥ 0…) |
| 2. النهايات والمقاربات | y = L ، x = a ، y = mx + c | أفقي إن كانت النهاية عدداً L، وشاقولي عند قيمة يؤول فيها التابع إلى ∞ |
| المقارب المائل | m = lim f(x)/x ، c = lim (f(x) − m·x) | عندما x → ±∞ |
| 3. المشتق وجدول التغيرات | f′(x) > 0 ⇒ متزايد ، f′(x) < 0 ⇒ متناقص | القيم الحدية حيث f′(x) = 0 |
| 4. المشتق الثاني والتقعر | f″(x) > 0 ⇒ تقعر نحو الأعلى ، f″(x) < 0 ⇒ نحو الأسفل | |
| نقطة الانعطاف | f″(x₀) = 0 وتتغيّر إشارته حول x₀ | مثال: y = x³ − 3x² ← x = 1 |
| 5. التقاطع مع المحورين | مع yy: x = 0 ، مع xx: y = 0 | ثم الرسم: المحاور والمقاربات والمنحني |
الهندسة التحليلية
| القاعدة | الصيغة | ملاحظة |
|---|---|---|
| المسافة بين نقطتين | AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | |
| ميل مستقيم | m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) | |
| معادلة مستقيم | y − y₁ = m(x − x₁) | |
| معادلة الدائرة | (x − x₀)² + (y − y₀)² = R² | المركز (x₀, y₀) ونصف القطر R |
| المعادلة العامة للدائرة | x² + y² + ax + by + c = 0 | نحوّلها للقانونية بإكمال المربع |
| القطع المكافئ (محوره ∥ yy) | (x − x₀)² = 2P(y − y₀) | الرأس (x₀, y₀)، البؤرة (x₀, y₀ + P/2)، الدليل y = y₀ − P/2 |
المثلثات
| القاعدة | الصيغة | ملاحظة |
|---|---|---|
| العلاقة الأساسية | sin²x + cos²x = 1 | |
| الظل | tan x = sin x / cos x | cos x ≠ 0 |
| جيب ضعف الزاوية | sin 2x = 2·sin x·cos x | |
| تجيب ضعف الزاوية | cos 2x = cos²x − sin²x = 1 − 2sin²x = 2cos²x − 1 | |
| زوايا شهيرة: sin | sin 0 = 0 ، sin 30° = 1/2 ، sin 45° = √2/2 ، sin 60° = √3/2 ، sin 90° = 1 | |
| زوايا شهيرة: cos | cos 0 = 1 ، cos 30° = √3/2 ، cos 45° = √2/2 ، cos 60° = 1/2 ، cos 90° = 0 |
التوافيق والاحتمالات
| القاعدة | الصيغة | ملاحظة |
|---|---|---|
| العاملي | n! = n·(n − 1)·…·2·1 | 0! = 1 |
| التراتيب (مع الترتيب) | A(n, k) = n! / (n − k)! | |
| التوافيق (دون ترتيب) | C(n, k) = n! / (k!·(n − k)!) | مثال: C(7, 2) = 21 |
| احتمال حادث | P(A) = n(A) / n(Ω) | 0 ≤ P(A) ≤ 1 |
| الحادث المعاكس | P(Ā) = 1 − P(A) | |
| الاجتماع | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) |
الأعداد العقدية
| القاعدة | الصيغة | ملاحظة |
|---|---|---|
| الوحدة التخيلية | i² = −1 | |
| الشكل الجبري | z = x + iy | x الجزء الحقيقي، y التخيلي |
| المرافق | z̄ = x − iy ، z·z̄ = x² + y² | |
| الطويلة | |z| = √(x² + y²) | مثال: |3 + 4i| = 5 |
| الشكل المثلثي | z = r(cos θ + i·sin θ) | r = |z| ، cos θ = x/r ، sin θ = y/r |
| الجذر التربيعي | w = a + ib ، w² = z | a² − b² = x و 2ab = y ثم نحل الجملة |
اختبر نفسك في الرياضيات بطاقات القوانين شكل ورقة الامتحان
ملفات الرياضيات
أسئلة شائعة
ما قانون مشتق xⁿ؟
مشتق xⁿ هو n·xⁿ⁻¹، فمثلاً مشتق x³ هو 3x²، ومشتق الثابت صفر.
كيف أجد نقطة الانعطاف؟
نحسب المشتق الثاني f″(x) ونحل f″(x) = 0؛ تكون النقطة انعطافاً إن تغيّرت إشارة f″ حولها. مثال: y = x³ − 3x² ← f″ = 6x − 6 = 0 ← x = 1.
ما معادلة الدائرة؟
الدائرة التي مركزها (x₀, y₀) ونصف قطرها R معادلتها (x − x₀)² + (y − y₀)² = R².
ما قانون التوافيق C(n, k)؟
C(n, k) = n! / (k!·(n − k)!)، وهو عدد طرق اختيار k عنصراً من n دون اعتبار الترتيب.
كيف أحسب طويلة العدد العقدي؟
طويلة z = x + iy هي |z| = √(x² + y²)، فمثلاً |3 + 4i| = 5.
السلطان التعليمي
